本文的内容包括微分拓扑中的CW复形、Morse不等式、Jacobi场、Morse指标定理等，之前的文章《微分拓扑中的Morse理论（上）》中已经介绍CW复形和Morse不等式，今天介绍Jacobi场和Morse指标定理， 希望读者喜欢.
1.Jacobi场
先来讨论变分问题，先引入Riemannian流形，令 是Riemannian流形，并且令 是 上以 为起点，以 为终点的道路 的集合，如果终点不固定，仅给定起点 ，则把这些道路的集合记作 . 上的开集记作 ，其中 是紧集， 是开集，于是 上的开集给出了 上的拓扑，使 成为无穷维光滑流形，因此可以类似定义 上的光滑结构.
之前的文章《Riemannian Geometry and Riemannian Manifolds 专题（下）》中定义了曲线的长度的泛函的一阶变分 ，可以记作 。由第一变分原理可知，给定变分场 后， 是一实数，而变分场 实际上是切空间 中的元素，于是 是一线性映射，故 是 的映射. 再考虑一阶变分的变分，即二阶变分 ，则是 的映射，或者是 的双线性形，因此得到了曲线的长度的泛函第二变分原理为 .
然后介绍Jacobi场与测地线的测地变分的变分场，测地变分场的主曲线均是测地线，于是可以定义测地线族，如果这族测地线的起点相同，它们的终点是否能聚到一个点上，在欧氏空间中，它是常曲率空间，测地线是直线，显然这族直线会越离越远，不会聚到一个点上，而在球面上，从北极点引一测地线族，最后这些测地线会汇于南极点，而球面是正曲率的，这表明曲率会影响测地线的大范围性质.
令 是测地线，若任意主曲线 也是测地线，则称 的变分 是测地变分. 若 是测地变分的变分场，则称是Jacobi Field，定义Jacobi算子为 ，其中 是(,)型曲率张量算子.
定理1(Jacobi 方程) ： 是 的Jacobi场，那么 .
定理1中的Jacobi方程可以直接计算得到，如果Riemannian流形是测地完备的，则定理1的逆定理成立. 给定局部坐标后，Jacobi方程可以表示为 ，其中 是在局部标准正交标架 下的展开，Jacobi方程个二阶常微分方程，根据常微分方程中 Picard 存在与唯一性定理可知，就可以得到给定初值即有存在性和唯一性的结论. 由于给定初值点 后 是维切向量，而沿方向的协变导数是把向量场映射到向量场的，故 也是维切向量. 于是任意测地线 的Jacobi场的线性空间与 同构. Jacobi场还可以是用来证明度量在测地法坐标下的Taylor展开式为 .
2.Morse指标定理
测地线上各点处切空间是同构的，即给定一测地线 后，可以把测地线经过的任两点 的切空间 等价. 指数映射 是局部微分同胚，但不是整个 上的微分同胚，故可能存在某些非零切向量使指数映射的微分等于零，若 ， ，且 使 ，则称 是 沿 的共轭点. 共轭点总是孤立点，从而在有限闭区间上只能存在有限多个共轭点.
定理2： 若 是完备Riemannian流形上的测地线， ， ，如果 是 的共轭点当且仅当存在 的非零Jacobi场 使 ；如果 不是 的共轭点当且仅当 是 的附近的局部微分同胚.
由于球面上的南北极点就是一对共轭点，定理2说明了北极引出的指数映射，在南极不是局部微分同胚，如果挖去南极点，那么球面就可以和平面上的一个圆微分同胚，此时北极点对应到圆心，而从北极引出的测地线对应到从圆心引出的半径，于是这些测地线完全发散，因此指数映射不可能是局部微分同胚.
令满足 的沿 的Jacobi场的线性空间为 ，称 是 沿 关于 的共轭重数，由定理2可知，若 是 沿 的共轭点当且仅当共轭重数大于零.
然后在 上按 引入泛函 ，称为能量泛函，直接计算可得能量泛函的第一变分公式为 ，当 时一阶变分为零，即测地线是能量泛函的临界点；能量泛函的第二变分公式为 ，于是得到 的双线性形，由于道路空间 本身是个光滑流形，故长度泛函和能量泛函是道路空间上的光滑函数，取活动标架 ，那么 是临界点 的Hessian矩阵或二阶导数矩阵，而Jacobi算子的负本征向量 张成的线性空间 恰好是能量泛函二阶变分的负定空间，于是就可以把临界点 处的Morse指标和Jacobi算子的负本征值联系了起来，即Jacobi场的线性空间的共轭重数就是Jacobi算子的负本征值的重数. 于是得到了下面的Morse指标定理.
定理3(Morse 指标定理) ：若 是能量泛函的非退化临界点， 是沿 与 共轭的点，那么能量泛函在 处的Morse指标等于 ，其中是有限的整数.
这个Morse指标也被称作 本身的指标，因此道路空间也有对应的CW复形. 因此Morse基本定理的另一种表述如下.
定理4(Morse Theorem)： 设 是完备Riemannian流形 上不共轭的两点，则存在CW复形 与 同伦等价，并且 由可数个原胞黏成，每一个指标为的测地线都对应一个闭-原胞.
3.Bott周期
Bott周期定理在K-Theory和Atiyah-Singer指标定理中起关键性作用，但本文不对K-Theory和Atiyah-Singer指标定理不展开讨论，K-Theory在代数拓扑中视为一种异常上同调，称为拓扑K-理论，在代数与代数几何中称为代数K-理论，在算子代数中可以构造一类K-函子等.
Bott周期定理是关于典型群的同伦群的重要性质，由于球面可以用正交群表示 ，根据《同调代数论》中的群同态正合列基本定理，存在如下短正合列 ，从而有诱导的长正合列 ，而 时 ，故由长正合列得 ，当 足够大时，低阶同伦群 是稳定的，且这些低阶同伦群具有周期性，称为Bott周期，正交群的Bott周期是 8，即 .
然后把它的第一个周期内的同伦群列出来，因为底流形是Lie群，所以零阶同伦群有群结构 ， ， ， ， ， ， ， . 从 开始循环新的周期，于是酉群也可以用球面表示为 ，故也有Bott周期，周期为，第一个周期内的同伦群是 和 .
最后谈谈Atiyah-Singer指标定理. 此定理于1962年由Atiyah和Singer第一个给出证明，内容为对于紧的可定向流形上的线性椭圆微分算子，其解析指标等于拓扑指标. 几何和拓扑中的许多定理，包括Riemann-Roch Theorem，Hizebruch's Sigbature theorem以及Gauss-Bonnet-Chern Theorem都是Atiyah-Singer Index Theorem的特殊情形.
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